Saltar al contenido

Aplicaciones del teorema de Rouché-Frobenius

Frobenius

El teorema de Rouché-Frobenius permite calcular el número de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales en función del rango de la matriz de coeficientes y del rango de la matriz ampliada asociadas al sistema.

Lleva el nombre de los matemáticos que lo enuncio ,Eugène Rouché y  Ferdinand Georg Frobenius quien fue uno de los muchos matemáticos que lo demostraron.
La condición necesaria y suficiente para que un sistema de  m  ecuaciones lineales con  n  incógnitas sea compatible es que el rango de la matriz de los coeficientes de las incógnitas ( A )  sea igual al rango de la matriz ampliada con los términos independientes  ( A* ). Es decir:  rango (A) = rango (A*).
El teorema establece que si el valor común de los rangos coincide con el número de incógnitas, el sistema es compatible determinado. Si, por el contrario, el valor de los rangos es menor que el número de incógnitas el sistema es compatible indeterminado. Esto lo podemos ver en las siguientes imágenes, donde tenemos un sistema de m ecuaciones con n incógnitas:
sistema

La matriz de los coeficientes es A y la matriz ampliada A*:

matriz de coeficientes y matriz ampliada

  • Si rango (A) = rango (A*) = n (número de incógnitas), el sistema es compatible determinado (tiene una única solución).
  • Si rango (A) = rango (A*) < n (número de incógnitas), el sistema es compatible indeterminado (tiene infinitas soluciones).
  • Si rango (A) # rango (A*), el sistema es incompatible (no tiene solución).

Un caso particular es el de los sistemas homogéneos, es decir, aquellos en los que todos los términos independientes son nulos. En este caso siempre se cumple que rango (A) = rango (A*). Esto quiere decir que todos los sistemas homogéneos son siempre compatibles:

  • Si rango (A) = n (número de incógnitas), el sistema es compatible determinado. Tiene una única solución, que se conoce con el nombre de solución trivial. Es aquella en la que todas las incógnitas son  nulas  ( 0 ).
  • Si rango (A) < n (número de incógnitas), el sistema es compatible indeterminado (tiene infinitas soluciones).

Vía: wikipedia