Las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales surgen con frecuencia en problemas donde aparecen vibraciones potenciales y distribuciones de temperatura. Estos problemas se conocen como problemas de frontera y se escriben mediante ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden. La forma de resolución se basa en la simplificación de la ecuación diferencial a una o más ecuaciones diferenciales ordinarias, donde la variable dependiente y sus derivadas aparecen elevadas a la primera potencia. Se utiliza el método se separación de variables para ecuaciones en diferenciales parciales lineales para encontrar la solución particular de la ecuación.
Si u representa la variable dependiente y x y las variables independientes, entonces la forma general de una ecuación diferencial en derivadas parciales lineal de segundo orden con dos variables independientes es:
A (∂2u/∂x2) + B (∂2u/∂x∂y) + C (∂2u/∂y2) + D (∂u/∂x) + E (∂u/∂y) + F u= G
en donde A, B, C, …, G son funciones de x e y. Cuando G(x, y) es nula, nos encontramos en presencia de ecuaciones homogéneas; en cualquier otra caso, será no homogénea.
La solución de la ecuación anterior es una función u(x, y) que posee todas las derivadas parciales que indica la ecuación y que la satisface en alguna región del plano xy. Como la obtención de soluciones generales de este tipo de ecuaciones recae en un procedimiento complejo y tiene poca aplicación, se abocarán a buscar soluciones particulares, utilizando principalmente el método de separación de variables.
En el método de separación de variables, se encontrará una solución particular que tenga la forma de un producto de una función de x y de una función de y; es decir:
u(x, y)= X(x)*Y(y)
Para ello se convierte la ecuación en derivadas parciales lineal con dos variables, en dos ecuaciones diferenciales ordinarias (Para ver el desarrollo del método ver “Método de separación de variables”).
Las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales lineales de segundo orden con dos variables independientes y con coeficientes constantes, pueden clasificarse en tres tipos, que dependen de los coeficientes de las derivadas de segundo orden. Suponiendo que al menos unos de los coeficientes A, B y no es nulo, tendremos:
B2 – 4AC= 0 Ecuación diferencial parabólica a2∂2u/∂x2= ∂2u/∂t2
B2 – 4AC> 0 Ecuación diferencial hiperbólica k∂2u/∂x2= ∂u/∂t k>0
B2 – 4AC< 0 Ecuación diferencial elíptica ∂2u/∂x2 + ∂2u/∂t2= 0
A estas ecuaciones se las conoce como ecuación unidimensional de calor, ecuación unidimensional de onda y ecuación de Laplace en dos dimensiones.