Suponga que se trata de hallar la temperatura de estado estable u(x, y) en una placa rectangular con bordes aislados, como se muestra en la figura de la izquierda. Cuando no escapa calor de los lados de la placa, se resuelve el siguiente problema de valores en la frontera
Haciendo u(x, y)= X(x)Y(y), la separación de variables en la ecuación (1) lleva a
ya que 0< y< b es un intervalo finito.
Las tres primeras condiciones en la frontera se traducen en X´(0)= 0, X´(a)= 0 y Y(0)= 0. Al derivar X y establecer x= 0, implica que c2= 0 y en consecuencia, X= c1 cos λx. Derivamos esta última expresión y con x= a, obtenemos –c1λsin λa= 0. Esta condición se satisface cuando λ= 0 o cuando λ= nπ o λ= nπ/a, n= 1, 2, 3,… Observen que λ= 0 significa que la ecuación (4) es X´´= 0. La solución general de esta ecuación es la función lineal dada por X= c1 + c2x, y no por la ecuación (6). En este caso, las condiciones en la frontera X´(0)= 0 y X´(a)= 0, exigen que X=c1. En caso puede concluirse que λ= 0 sí es un valor propio. Mediante la correspondencia λ= 0 con n= 0, se obtienen las funciones propias
Por último, la condición Y(0)= 0 obliga a que c3= 0 en la ecuación (7) cuando λ> 0. Sin embargo, cuando λ= 0, la ecuación (5) se transforma en Y´´= 0 y así la solución está dada por Y= c3 + c4y en lugar de (7). Pero Y(0)= 0 significa nuevamente que c3= 0, de modo que Y= c4y. Así, las soluciones producto de la ecuación que satisface las tres primeras condiciones en la frontera son
Con el principio de superposición se tiene otra solución:
Al sustituir y= b en la ecuación se obtiene
que en este caso en un desarrollo de f en series de cosenos de mitad de intervalos. Al hacer las identificaciones A0b= a0/2 y An= sinh (nπb/a)= an, n=1, 2, 3,… se obtiene, de acuerdo con las ecuaciones (2) y (3)
La solución de este problema consiste en la serie (8), donde A0 y An están definidas por (9) y (10), respectivamente.
Un problema como el descripto, en el que se busca una solución de una ecuación en derivadas parciales de tipo elíptico, como la ecuación de Laplace, dentro de una región R acotada tal que u adopte valores prescriptos en todo la frontera de la región, se llama problema de Dirichlet.