Muchos ejercicios de álgebra piden verificar si una operación es producto interno. Para verificar si lo es hay dos caminos uno es comprobando que se cumplan los axiomas y otros utilizando la matriz. Un producto interno se puede escribir como (u,v) =u traspuesta. A.v siendo A la matriz que cumple con esta igualdad. Conociendo esta matriz y esta forma de escritura podemos decir que algo es producto interno si la matriz es definida positiva. Este nombre se le da a las matrices que tienen todos sus autovalores mayores a 0. Además otra propiedad de este tipo de matrices es que todos sus menores principales son mayores a cero. Cabe remarcar que los menores principales son todos los determinantes del subconjunto de submatrices cuadradas de A.
- Menores principales
Es importante que sepas que verificar que la matriz es definida positiva no alcanza para demostrar que es producto interno, ya que debes demostrar que el producto se puede escribir de la forma antes mencionada. Hay casos, en los cuales la matriz cumple con su condición pero al no poder escribirse como (u,v)=u traspuesta. A.v no es producto interno.
Debes prestar atención y definir en cada caso cual es el camino que te conviene para verificar un producto interno. Yo prefiero la verificación de los axiomas pero eso va en gustos y facilidades de cada uno.