El método de separación de variables, es un método que permite encontrar soluciones particulares de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales lineales. Permite resolver una gran cantidad de ecuaciones de este tipo, aunque debe saberse que no todas permiten una separación de variables.
Con este método de busca una solución particular de la forma de un producto de una función de x y una función de y; es decir:
Durante la aplicación del método se convierte la ecuación diferencial lineal en derivadas parciales con dos variables independientes, en dos ecuaciones diferenciales ordinarias. Debe saberse para ello que:
donde la “prima” indica derivación ordinaria.
Veamos la aplicación del método con un ejemplo. Determinar las soluciones producto de la ecuación diferencial:
Si u(x, y)= X(x)Y(y), al separar las variables, la ecuación se transforma en:
Puesto que el lado izquierdo de la ecuación anterior es independiente de y e igual al lado derecho, que es independiente de x, se concluye que cada lado de la ecuación debe ser una constante. De hecho, esta constante se conoce como constante de separación real (λ2 o –λ2). Según el valor que tome la constante se podrán distinguir tres casos:
Caso 1: λ2>0
Las ecuaciones anteriores tienen las siguientes soluciones:
Así, una solución particular del sistema es:
Caso 2:- λ2<0
Las ecuaciones anteriores tienen las siguientes soluciones:
Así, una solución particular del sistema es:
Caso 3: λ2=0
Las ecuaciones anteriores tienen las siguientes soluciones:
Así, una solución particular del sistema es:
Debe tenerse presente que este tipo de solución es posible debido al principio de superposición; si u1, u2 …, un son soluciones de una ecuación en derivadas parciales lineal homogénea, la combinación lineal
donde las c1, c2, …, cn son constantes, también es una solución.