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Principio de Bernoulli

Daniel Bernoulli

Con el principio de Bernoulli estudiaremos qué sucede cuando un fluido fluye por un tubo de flujo, en este su estado puede cambiar en varias formas:

1. Puede alterarse su superficie transversal, 2. La entrada y la salida del tubo pueden darse a varias alturas; 3. Las presiones de entrada y de salida pueden ser distintas.

Los cambios de velocidad se relacionan con la presión y la elevación. Debido a esto los cambios de los tipos 1, 2 y 3 no son independientes unos de otros. El análisis que haremos a continuación se basará en  aplicar la conservación de la energía, ∆C + ∆P = Wext , al flujo del fluido que suponemos que es un flujo ideal ( es estacionario, incompresible, no viscoso e irrotacional)

∆C: variación de la energía cinética; ∆P: variación de la energía potencial;  Wext: trabajo externo realizado en el sistema

Supongamos que un fluido ideal circula por una cañería como la que muestra la figura:

fluido que recorre un tubo con una rapidez estacionaria

En el extremo izquierdo (entrada) el tubo tiene una superficie transversal A1 y se halla en una altura h1. En el extremo derecho (salida) presenta una superficie transversal A2 y una altura h2. La velocidad del fluido es v1 en la entrada y v2 en la salida.

Una presión p1 actúa en el extremo de la entrada y genera una fuerza F1= p1A1 hacia la derecha. En la salida se registra una presión p2 que produce una fuerza F2 = p2 A2 hacia la izquierda de él.

El sistema se desplaza hacia la derecha bajo la fuerza de presión y de la gravedad .

Supongamos que transcurrio un tiempo  δt, en este intervalo el extremo izquierdo del sistema recorrió un una distancia δX1 hacia la derecha, mientras que el extremo derecho recorrió una distancia δX2. El efecto es el mismo que si hubiéramos movido el elemento  de masa δm del extremo de entrada , al extremo de salida.

El trabajo que se realiza en nuestro sistema recibe tres contribuciones: en la entrada W1 = F1δX1= p1 A1 δX1 ; en la salida W2 = -F2δX2= -p2 A2 δX2 (es negativo porque la fuerza y el desplazamiento son contrarios) ; el trabajo realizado por la gravedad , como el  elemento de fluido de masa δm se mueve a travez del desplazamiento vertical h2-h1, es Wg= – δm g (h2-h1) , es negativo porque la fuerza y el desplazamiento son contrarias.

En la ecuación de la conservación de la energía ∆P representa  la energía potencial debida a las fuerzas conservativas, aquí suponemos que ninguna de ellas actúa en el fluido, entonces ∆P=0.

Entonces el trabajo externo sera: Wext = W1 + W2 + Wg = p1 A1 δX1 -p2 A2 δX2 – δm g (h2-h1)

δV  es el volumen del fluido de masa δm, este puede escribirse como δV=A1 δX1 = A2 δX2 porque el fluido es incompresible. En función de la densidad (ρ)  δV= δm/ρ , entonces el Wext es:              Wext = (p1-p2) (δm/ρ) – δm g (h2 – h1)

El cambio de energía cinética en el fluido de masa δm es:   ∆C= 1/2 δm v2 2 – 1/2 δm v2 1

Finalmente aplicando la conservación de la energía con ∆P=0 obtenemos:                                       1/2 δm v2 2 – 1/2 δmv2 1 = (p1 – p2) (δm/ρ) – δm g (h2 – h1) , expresión que arreglando los términos obtengo la ecuación de Bernoulli :   p1+1/2 ρ v2 1 + ρgh1 = p2 + 1/2 ρ v2 2 + ρgh2


Vía: monografias

Vía: FÍSICA , Resnick, Halliday, Krane