El teorema de Ruffini no afirma que las ecuaciones polinómicas de grado cinco o superior no tengan soluciones o que no puedan ser resueltas. De hecho, si la ecuación polinómica tiene coeficientes reales o complejos y permitimos soluciones complejas, entonces cualquier ecuación polinomial tiene soluciones; éste es el teorema fundamental del álgebra. El teorema de Ruffini establece la imposibilidad de resolver ecuaciones de quinto grado aplicando solamente sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y raíces a los coeficientes de la ecuación y la regla de Ruffini para resolver cocientes de polinomios entre monomios de la forma x – a.
El teorema de Ruffini permite hallar el cociente y el resto de la división de un polinomio P(x) por un binomio de primer grado Q(x)= (x ± a) sin necesidad de efectuar la división. a continuación les muestro un ejemplo para hecer mas visible la operación:
P(x)=2×3 + x2 – 3x + 5 y Q(x)=x-1
1.Se ordena el polinomio P(x) de mayor a menor grado y se colocan los coeficientes de cada término . Si no apareciese algún término entre el de mayor grado y el de menor se coloca un 0. A la izquierda se pone el número que se resta a x en Q(x), en nuestro caso 1 y se baja el coeficiente del término de mayor grado, este paso se corresponde con la figura 1.
2. Se multiplica el coeficiente que se ha bajado (2) por el que se ha colocado a la izquierda (1). El resultado del producto se coloca debajo del coeficiente del término siguiente y se suman. Figura 2
3. El resultado de la suma se vuelve a multiplicar por el número situado a la izquierda y se repite el proceso. Figuras 3 y 4.
4. El último número (recuadro rojo en Fig. 4) se corresponde con el resto de la división mientras que el resto de números de la fila inferior son los coeficientes del cociente.
Resto = 5 y C(x)=2×2 + 3x por tanto 2×3 + x2 – 3x + 5 =(x-1) (2×2 + 3x) +5 Ejemplo de la regla de Ruffini
