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Cambio de coordenadas en integrales

cambio de coordenadas
Es importante definir los nuevos límites

En esta oportunidad les voy a explicar como se realiza el cambio de coordenadas en integrales dobles. En muchos casos, es de vital importancia el cambio de coordenadas, ya que de no hacer esto es muy difícil poder resolver las integrales. Para su mejor explicación voy a utilizar un ejemplo. Imaginemos que tenemos una integral que se encuentra planteada en variables x,y y para su resolución queremos cambiar a coordenadas u y v. Para que la integral no tenga errores se debe calcular y utilizar el jacobiano.

El jacobiano (J) es una matriz que tiene x′u y x′v en la primer fila y y′u e y′v en la segunda. De esta manera se puede calcular su determinante que será utilizado en la integral.

fórmula de jacobiano
Jacobiano

Para resolver la integral doble es necesaria plantearla de la siguiente manera:

  • ∫∫ f(x,y) dx dy= ∫∫f(u,v) [J] du dv

Cabe remarcar que [J] es el determinante del jacobiano previamente calculado. Los límites de integración son distintos porque en la primer integral se calcula sobre D, que es la región formada con x e y como variables mientras que la segunda se hace respecto de D´que es la región del plano uv que queda al realizar la transformación.