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Descomposición en valores singulares

valores singulares
Matriz diagonal de valores singulares

La descomposición en valores singulares de una matriz es una factorización muy utilizada en álgebra lineal. La misma consiste en escribir una matriz cualquiera, en la multiplicación de dos matrices hermíticas o ortogonales, en el caso real, por una diagonal. Esta descomposición en valores singulares, muchas veces abreviada como DVS se escribe de la siguiente manera: A= U.Σ.V hermítica. 

Para poder armar esta descomposición de matrices se procede de la siguiente manera:

  • Se hace la multiplicación de A hermítica. A y se calculan sus autovalores y autovectores. Los autovectores son las columnas de  la matriz V, mientras que la raíz cuadrada positiva de los autovalores, son los llamados valores singulares y son los que van en la diagonal de Σ. Estos valores se deben acomodar ordenadamente de mayor a menor.
  • Se multiplica A. A hermítica y se sacan sus autovectores. Estos autovectores son las columnas de la matriz U. Cabe remarcar que los vectores de U cumplen con la siguiente propiedad: A.v= S.u en donde S es el valor singular correspondiente.
DVS
Fórmula de DVS

Cabe remarcar que la matriz diagonal tiene la misma dimensión que A, mientras que U y V son cuadradas. U tiene dimensión igual a las filas de A, mientras que V igual a las columnas.