El desplazamiento vertical u(x, t) de la cuerda vibratoria de longitud L se determina a partir de
Suponiendo que u(x, t)= X(x)T(t) y separando variables en la ecuación (1) se llega a
Las condiciones (2) en la frontera se traducen como X(0)= 0 y X(L)= 0. Así vemos que
(Veáse la deducción en “Ejemplo de Ecuación de Transferencia de calor”). Esta última ecuación define los valores propios λ= nπ/L, donde n= 1, 2, 3, …. Las funciones propias respectivas son
Las soluciones de la ecuación (1) que satisfacen las condiciones en la frontera (2) son
Con t= 0 en (5) obtenemos
que es un desarrollo de f en forma de serie de senos, de mitad de intervalo. Ignual que cuando describimos la ecuación de transmisión de calor (Veáse la deducción en “Ejemplo de Ecuación de Transferencia de calor”), podemos definir a An como
Para determinar Bn, se deriva la ecuación (5) con respecto de t y se hace t= 0.
Para que la última serie sea desarrollo de g en senos de mitad de intervalo en el intervalo, el coeficiente total, Bnnπα/L debe estar en la forma siguiente
La solución del problema está formada por la serie (5), con An y Bn definidos por (6) y (7), respectivamente.
Obsérvese que cuando la cuerda se suelta partiendo del reposo, g(x)= 0 para todo x en 0<= x <= L y, en consecuencia, Bn= 0.
La constante α que aparece es (T/ρ)1/2, donde ρ es la masa por unidad de longitud y T es la magnitud de la tensión de la cuerda. Cuanto T es suficientemente grande, la cuerda vibratoria produce un sonido musical, originado por ondas estacionarias. La solución (5) es una superposición de soluciones producto, llamadas ondas estacionarias o modos normales:
De acuerdo con las ecuaciones (6) y (7), las soluciones producto (4) se pueden escribir en la forma
en donde Cn= (An2 + Bn2)1/2 y φn está definido por sin (φn)= An/Cn y cos (φn)= Bn/Cn. Para n=1, 2, 3, … las ondas estacionarias son, en esencia, las gráficas de sen(nπx/L) con una amplitud variables en el tiempo dada por
En forma alternativa, de acuerdo con la ecuación (8), vemos que en un valor fijo de x, cada función producto un(x, t), representa un movimiento armónico simple, cuya amplitud es Cn|sin(nπx/L)| y cuya frecuencia es fn= nα/2L. En otras palabras, cada punto en una onda estacionaria vibra con distinta amplitud, pero con la misma frecuencia. Cuando n= 1,
y se llama primera onda estacionaria, primer modo normal o modo fundamental de vibración. En la figura de la izquierda se presentan las primeras tres ondas estacionarias. Las líneas negras representan las ondas estacionarias en distintos valores del tiempo. Los puntos del intervalo (0, L) para que los sen(nπx/L)= 0, corresponde a puntos de una onda estacionaria en los que no hay movimiento. Estos puntos se denominan nodos; por ejemplo la segunda onda tiene un nodo en L/2 y la tercera tiene dos nodos, en L/3 y 2L/3. De manera general, el n-ésimo modo normal de vibración tiene n-1 nodos. La frecuencia
del primer nodo normal se llama frecuencia fundamental o primera armónica y se relaciona directamente con la altura del sonido que produce un instrumento de cuerda. Mientras mayor es la tensión de la cuerda, más alto (agudo) será el sonido que produce. Las frecuencias fn de los demás nodos normales, que son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental, se llaman armónicas o sobretonos.