Una varilla delgada de longitud L tiene un temperatura inicial f(x) y sus extremos se mantienen a la temperatura cero en todo momento t>0. Si la varilla satisface las hipótesis del modelo, el problema de valores en la frontera establece su temperatura u(x, t)
Con el producto u(x, t)= X(x)T(t) y la constante de separación –λ2, llegamos a
Una vez encontradas las soluciones de la ecuación diferencial, se procede con el cálculo de las constantes.
Como u(0, t)= X(0)T(t)= 0 y u(L, t)= X(L)T(t)= 0, debemos tener X(0)= 0 y X(L)= 0. Estas condiciones homogéneas en la frontera, junto con la ecuación (5), constituyen un problema regular de Sturm-Liouville.
Al aplicar la primera de estas condiciones a la ecuación (6) obtenemos c1= 0 (reemplace en la ecuación (6) a x por 0 e iguale X= 0, por condición X(0)= 0 y verifique). En consecuencia:
La segunda condición en la frontera implica que X(L)= c2 sin λL= 0. Si c2= 0, entonces X= 0, de modo que u= 0. Para obtener una solución u no trivial se debe cumplir que c2 sea distinta de 0, y de este modo la ecuación X(L)= 0 se satisface cuando
Esto implica que λL= nπ; o sea λ= nπ/L, donde n= 1, 2, 3, …. Los valores
Y las soluciones correspondientes
son los eingenvalores (valores propios) y eingenfunciones (funciones propias) respectivamente, del problema.
Según la ecuación (7)
en donde se reemplazó la constante c2c3 por An. Los productos un (x, t) satisfacen la ecuación en derivadas parciales (1) y las condiciones en la frontera (2) para todo valor positivo entero de n. Sin embargo, para que las funciones que aparecen en la ecuación (10) satisfagan la condición inicial (3), tendríamos que definir el coeficiente An de tal forma que:
En general, no esperamos que la condición (11) se satisfaga con una elección arbitraria, aunque razonable, de f; en consecuencia, tenemos que admitir que un (x, t) no es una solución del problema dado. Ahora bien, por el principio de superposición la función
también debe satisfacer, aunque formalmente, la ecuación (1) y las condiciones (2). La sustitución de t= 0 en la ecuación (12) implica
Se advierte que esta última expresión es el desarrollo de f en una serie de senos de mitad de intervalo, donde An se calcula como sigue:
Se concluye que una solución del problema de valores en la frontera descrito en (1), (2) y (3) está dada por la serie infinita