Funciones crecientes y decrecientes

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La noción de correspondencia aparece frecuentemente en la vida diaria. Por ejemplo: a cada persona le corresponde una fecha de nacimiento, a cada instante de tiempo le corresponde una temperatura.

Una función “f” de un conjunto A en un conjunto B es una correspondencia que asigna a cada elemento “x” de A un elemento único “y” de B. El elemento “y” de B es el valor funcional de “f” en x, que se denota como f(x).

El conjunto A se llama dominio de f(x) y el conjunto B codominio. Además “x” es la variable independiente, e “y” la variable dependiente.

Una función será creciente en el intervalo [a, b] si se satisface la condición de que para todo x1 y x2 pertenecientes al intervalo, dado x1< x2 entonces f(x1)< f(x2).

Una función será decreciente en el intervalo [a, b] si se satisface la condición de que para todo x1 y x2 pertenecientes al intervalo, dado x1< x2 entonces f(x1)> f(x2).

Debe tenerse en cuenta que las funciones pueden ser estrictamente crecientes en todo el intervalo de número reales, estrictamente decreciente o lo más común de los casos es que pueden tener intervalos en donde sean crecientes e intervalos en donde sean decrecientes.

Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, debe realizarse la deriva primera de la función y encontrar las raíces de la misma. Es decir, encontrar los valores de “x” que hacen nula la derivada primera. Se realizan intervalos abiertos con las raíces y los puntos de discontinuidad si los hay y se comprueba para cada uno si la derivada es positiva o negativa. Si la derivada primera es positiva la función es creciente, si es negativa, la función es decreciente.

Veamos un ejemplo: f(x)= ½ (x2 – 4x +1)

Derivamos la función: f´(x)= x – 2

Encontramos los ceros: f´(x)= x – 2= 0                si      x= 2

Armamos los intervalos: (-∞;2) y (2;∞).

Verificamos el signo de la derivada primera: x< 2    f´(x) es negativa

x> 2    f´(x) es positiva

Por ende: La función será decreciente entre (-∞,2) y será creciente entre (2;∞).



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