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Matrices unitarias

ejemplo de matriz unitaria
Matriz unitaria

Una matriz muy importante en álgebra lineal es la matriz unitaria. Esta tiene una gran cantidad de utilidades y es por eso que les explicaré qué son este tipo de matrices. Las matrices unitarias son las matrices que cumplen con las siguientes condiciones (vamos a suponer que U es una matriz cuadrada de nxn):

  • U a la -1 = U hermítica. Les recuerdo que una matriz es hermítica cuando es traspuesta y conjugada al mismo tiempo.
  • U.U hermítica= I, siendo I la matriz identidad.
  • U hermítica. U= I
hermítica
Matriz hermítica

Algunas de las características de las matrices unitarias son que sus columnas constituyen una base ortonormal del espacio Cn. Además las matrices unitarias se caracterizan por conservar el producto interno. Esto quiere decir que al hacer (Ux,Uy)=(x,y). Con esto podemos llegar a la conclusión de que las matrices unitarias conservan la norma, ya que hacer (Ux,Ux)=(x,x).

Además de estas importantes propiedades, los autovalores de las matrices unitarias tienen norma igual a 1. Es decir que si trabajamos con reales, los autovalores pueden ser 1 y -1, mientras que si trabajamos con complejos también se agregan i y -i.