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Matriz de proyección sobre un subespacio

matriz idempotente
Matrices idempotentes

La matriz de proyección es una matriz que tiene la propiedad de que al multiplicar un vector por la matriz, el resultado es la proyección del vector sobre el subespacio generado por las columnas de la matriz. La matriz de proyección se denota comúnmente con la letra P y cumple con varias propiedades. Las condiciones para que una matriz sea de proyección son:

  • Debe ser idempotente: es decir que al multiplicar P por si mismo debe dar la matriz P como resultado. Esto quiere decir que P²=P.
  • Cuando se trata del producto interno canónico también debe cumplir que la matriz sea simétrica  Es importante que sepas que solo se cumple para este producto interno.
matriz de proyección
Matriz simétrica

Para armar la matriz de proyección sobre un subespacio debemos proceder de la siguiente manera: usando los generadores del subespacio S se debe buscar  una base ortonormal (para esto puedes usar el método de Gram-Shmidt). Luego debes ubicar esta BON como columnas de una matriz Q, y para obtener la matriz de proyección P debes hacer Q.Q traspuesta, completando el proceso.