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Definición y aplicaciones de los números complejos

complejos
complejos

Un número complejo, es una entidad matemática que viene dada por un par de números reales, el primero (x ) se denomina la parte real y al segundo (y) la parte imaginaria. Los números complejos se representa por un par de números entre paréntesis (x, y), como los puntos del plano, o bien, en la forma usual de x+yi, i se denomina la unidad imaginaria, la raíz cuadrada de menos uno. La clase Complejo constará de dos miembros dato, la parte real real, y la parte imaginaria imag.                               Los números complejos representan todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales.

Dos propiedades que cumplen los pares de números reales y que se mantienen para los complejos son:
  • Igualdad:

    Igualdad
    Igualdad
  • Multiplicación por un escalar:
    multiplicación por un escalar
    multiplicación por un escalar

    donde α pertenece a los reales.

En matemáticas, los números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. La propiedad más importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra, que establece que un polinomio en una variable, no constante y con coeficientes complejos, tiene tantas raíces como indica su grado, contando las raíces con sus multiplicidades. En otras palabras, dado un polinomio complejo p de grado n > 0, la ecuación p(z) = 0 tiene exactamente n soluciones complejas, contando multiplicidades. De manera equivalente:

  • El cuerpo de los complejos es cerrado para las operaciones algebraicas.
  • Todo polinomio complejo de grado n se puede expresar como un producto de n polinomios de la forma x – ci
    plano complejo
    plano complejo

Representación binómica

Un número complejo se representa en forma binomial como:  z = x + y i

Valor absoluto o módulo de un número complejo

El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión:

módulo
módulo

Unidad imaginaria

Tomando en cuenta que (a,0) * (0,1) = (0,a), se define un número especial en matemáticas de gran importancia, el número i o unidad imaginaria, definido como i = (0,1)

De donde se deduce inmediatamente que:

imaginario
imaginario

Vía: sc.ehu