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Problemas de frontera en derivadas parciales

Véase en la figura una cuerda sujeta en los dos extremos, en el eje x en x= 0 y x= L. Esto se puede traducir en dos condiciones de frontera siguientes:

En general hay tres tipos de condiciones en la frontera asociadas con la ecuación de calor, de onda y de Laplace. En una frontera se podrán especificar valores de u, ∂u/∂n o bien ∂u/∂n + hu, con h constante. Si la condición de frontera especifica un valor de u, se llama Condición de Dirichlet (i); si se especifica un valor ∂u/∂n, se llama Condición de Neuman (ii); y se especifica un valor de ∂u/∂n + hu, se llama Condición de Robin (iii).

Consideremos por ejemplo una varilla metálica como la de la figura. Para un tiempo mayor que cero pueden definirse las siguientes condiciones de frontera en el extremo derecho de la varilla:

(i)                 u(L, t)= u0                   u0= constante

(ii)               ∂u/∂x= 0                    x= L  o bien

(iii)             ∂u/∂x= h(u(L, t) – um)                  h>0 y um constantes

La condición (i) expresa que la frontera x= L la temperatura se mantiene constante en todo momento t>0 por algún medio. La condición (ii) indica que la frontera x= L está aislada. La ley de transmisión de calor, indica que el flujo de calor a través de una sección (es decir la cantidad de calor por unidad de área y unidad de tiempo que es conducido a través de la frontera) es proporcional al valor de la derivada normal de la temperatura u. Por ende, cuando la frontera x= L está aislada, no entre ni sale calor de la varilla y la derivada es nula. La condición (iii) representa el calor que se pierde del extremo derecho de la varilla al estar en contacto con un medio como aire o agua, que permanece a una temperatura constante. Según la Ley de Newton del enfriamiento, el flujo de calor que sale de la varilla es proporcional a la diferencia entre la temperatura de la misma u(L, t) en el extremo y la temperatura um del medio que la rodea. Si se pierde calor por el extremo de la varilla la condición se expresa como:

∂u/∂x= h(u(L, t) – um)                  h>0 y um constantes

El cambio de signo indica que la varilla tiene una temperatura superior que la del medio que la rodea; de manera que u(0, t)> um y u(L, t)> um. En x= 0 y x= L, las pendientes de u(0, t) y u(L, t) deben ser positiva y negativa, respectivamente.