Producto mixto

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El triple producto escalar (o también conocido como producto mixto) es una operación entre tres vectores que combina el producto escalar con el prodcuto vectorial para obtener como resultado un escalar. El producto mixto entre tres vectores “a”, “b” y “c” se define como:

(a, b, c)= a x b . c= a . b x c

Este resultado se visualiza como un determinante, ya que la operación es finalmente un producto escalar y su resultado un número real.

a x b . c= u1 v2 w3 + u2 v3 w1 + u3 v1 w2 – u1 v3 w2 – u2 v1 w3 – u3 v2 w1

Si se compara la imagen con la expresión anterior, se ve que el producto mixto no es más que la suma de la multiplicación de las constantes diagonales hacia la derecha menos la suma de la multiplicación de las constantes de las diagonales hacia la izquierda.

El producto mixto tiene una interpretación geométrica:

a x b . c= |a x b| |c| cosα

Por la interpretación geométrica del producto vectorial, |a x b| es la superficie del paralelogramo que tiene como lados a los vectores a y b (base del cuerpo de la figura).

El factor |c| cosα es la altura del cuerpo medida normal a la base.

Entonces la multiplicación de esos dos factores y por ende el producto mixto, superficie de la base por altura del cuerpo, da el volumen de un paralepípedo.






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