Se define a la raíz de una ecuación a los valores (números, funciones, conjuntos, etc.) que cumplen la condición indicada como una igualdad , osea, una ecuación.
Si podemos determinar las raíces de una ecuación también podemos determinar máximos y mínimos, valores propios de matrices, resolver sistemas de ecuaciones lineales y diferenciales, etc…
- Si λ ∈ R es una raíz real simple de la ecuación característica, entonces se le asocia una solución de la ecuación en diferencias finitas lineal reducida de orden n a coeficientes constantes de la forma λt
- Si λ ∈ R es una raíz de multiplicidad m ∈ N de la ecuación característica, entonces se le asocian m soluciones de la ecuación en diferencias finitas lineal reducida de orden n a coeficientes constantes de la forma: λt, t λt, …, tm-1λt.
Si λ = a ± bi=IλI e±iθ ∈ C son raíces complejas simple de la ecuación característica, entonces se le asocian dos soluciones de la ecuación en diferencias finitas lineal reducida de orden n a coeficientes constantes de la forma: IλItcos (t θ) , IλItsen (t θ) [provienen de: IλIte±iθt], con: IλI= (a2+ b2)1/2 y θ = arc tg (b/a).
- Si λ = a ± bi ∈ C son raíces complejas de multiplicidad m de la ecuación característica, entonces se le asocian 2m soluciones de la ecuación en diferencias finitas lineal reducida de orden n a coeficientes constantes de la forma: IλIt cos (tθ) , tIλItcos (tθ) , …, tm-1IλItcos (t θ) , IλIt sen (tθ) , tIλItsen (tθ) , …, tm-1IλItsen (t θ) , con: IλI= +(a2+ b2)1/2 y θ = arc tg (b/a).
Se puede demostrar que las soluciones halladas forman un sistema fundamental de soluciones y, por lo tanto, la solución general de la ecuación en diferencias finitas lineal reducida de orden n a coeficientes constantes, se obtendrá como combinación lineal de las n soluciones asociadas halladas teniendo en cuenta las raíces de su ecuación característica.
Vía: wikipedia