Teorema de Gram Schmidt

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ortogonalida
Vectores ortogonales en el pic

El teorema de Gram Schmidt es un proceso de ortogonalización muy utilizado en álgebra lineal. Mediante este proceso se puede encontrar un conjunto de bases ortogonales a partir de generadores de un espacio vectorial. Cabe remarcar que estos generadores deben ser linealmente independientes para poder aplicar el teorema de Gram Schmidt.

El teorema es muy fácil y posibilita conseguir una BOG. Si imaginamos que tenemos una base formada por vectores u1,u2,u3 la fórmula para calcular esta base ortogonal es la siguiente:

  • Tomamos u1=v1. Este es el vector que se mantiene fijo.
  • Procedemos usando la fórmula para sacar el vector v2. v2= u2- ((u2,v1)/(v1,v1)).v1.
  • Completamos el proceso calculando v3 de una manera similar. v3=u3- ((u3,v2)/(v2,v2)).v2 – ((u3,v1)/(v1,v1)).v1

Es importante que cuando hagas las multiplicaciones entre paréntesis uses usar el producto interno correspondiente. De ser el producto interno canónico  la cosa será mucho más sencilla, pero si el producto interno está definido de otra manera debes prestar atención para no equivocarte con las cuentas. Si necesitas más vectores ortogonales se procede de forma análoga agregando la parte correspondiente.



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