La forma de encontrar los máximos y mínimos de una función es mediante la utilización de la derivada. Les recuerdo que calcular la derivada de una función en un determinado punto, nos indica la pendiente de la recta tangente que pasa por dicho punto. Por lo tanto cuando la derivada es nula, nos indica que la recta tangente no tiene pendiente.
Cuando tenemos los puntos tales que la derivada es nula, contamos con los probables puntos máximos o mínimos de la función, llamados puntos críticos. Aclaro que son probables, porque puede que se trate de un punto de inflexión, punto en el cual la recta tangente es nula, pero no es ni un máximo ni un mínimo sino que es un punto en el cual se produce un cambio de concavidad de la función.
Para ver si uno de los puntos críticos es máximo o mínimo recurrimos a la derivada segunda de una función. Lo que se hace es derivar de nuevo la función derivada y evaluarla en los x de los puntos críticos. Si el resultado de esto es negativo, el punto crítico es un máximo, si es positivo un mínimo, y si es 0 es un punto de inflexión.